Sản phẩm hữu ích
Ngoài khả năng tạo ra các tài liệu khoa học và toán học có chất lượng bản in cao thì LaTeX còn cho phép tạo ra các bài trình chiếu tương tự như chương trình PowerPoint của Microsoft.
Để trình chiếu trong LATEX, bạn có thể sử dụng các gói lệnh Beamer, Powerdot, Prosper, Pdfscreen… Trong bài viết này, tôi sẽ hướng dẫn bạn cách trình chiếu trong LATEX bằng Beamer
Cách trình chiếu trong LATEX bằng Beamer
File mẫu trình chiếu LATEX với gói Beamer
Mời bạn tải file mẫu tại đây
File main.tex của bài trình chiếu trong video, khi biên dịch bạn sẽ biên dịch file này:
\documentclass[aspectratio=169, 17pt, notheorems]{beamer} %Other possible values are: 1610, 149, 54, 43 and 32. By default, it is to 128mm by 96mm(4:3).
%cỡ chữ 8pt, 9pt, 10pt, 11pt, 12pt, 14pt, 17pt, 20pt các tùy chọn cỡ chữ cho văn bản
\usefonttheme{professionalfonts} % using non standard fonts
\usepackage[utf8]{vietnam}
\usetheme{metropolis} %chọn theme
%\usetheme{CambridgeUS}
\setbeamersize{text margin left=03mm,text margin right=01mm}
%\setbeamertemplate{frametitle}{
% \vspace{0.1cm}\\
% \insertframetitle
%}
\setbeamertemplate{footline}{
\vspace{0.1cm}
}
\setbeamertemplate{frametitle}{%
\nointerlineskip%
\begin{beamercolorbox}[wd=\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.1ex]{frametitle}
\hspace*{1.5ex}\insertframetitle%
\end{beamercolorbox}%
}
\addtobeamertemplate{frametitle}{\vspace*{0cm}}{\vspace*{-0.2cm}}
\setbeamerfont{frametitle}{size=\normalsize}
\setbeamerfont{title}{size=\large}
%\setbeamertemplate{frametitle}{\color{black}\bfseries\insertframetitle\par\vskip-6pt\hrulefill \vspace*{-0.2cm}}
%\newcommand\FourQuad[4]{
% \colorbox{yellow}{\begin{minipage}[b][.40\textheight][t]{.49\textwidth}#1\end{minipage}}\hfill
% \begin{minipage}[b][.40\textheight][t]{.49\textwidth}#2\end{minipage}\\
% \begin{minipage}[b][.40\textheight][t]{.49\textwidth}#3\end{minipage}\hfill
% \begin{minipage}[b][.40\textheight][t]{.49\textwidth}#4\end{minipage}
%}
%\setbeamercolor{block body}{bg=red!30,fg=black}
%\setbeamercolor{block body}{bg=cyan!10}
%\usepackage{times}
\usepackage{cmbright}
%\usepackage{eulervm} %bị lỗi dấu véctơ ngắn
%\usepackage{mathpazo} %tự động chuyển font cả chữ và toán sang kiểu platino
%\usefonttheme{serif} %sử dụng với các font chữ có chân như mathpazo, eulervm
%\usepackage{mathpple}
%\usepackage{charter} %có chân, hơi đậm, hẹp
%\usepackage[math]{iwona} %font chữ không chân, đậm
%\usepackage[math]{kurier}
%
\usepackage{multicol}
%\setlength{\columnseprule}{0.4pt} %đường thẳng đứng ngăn cách các cột
%khoảng cách thụt lề môi trường liệt kê
\setlength\leftmargini {1.5em}
\setlength\leftmarginii {1.5em}
\setlength\leftmarginiii {1.5em}
\setlength \labelsep {.25em}
\setlength \labelwidth{\leftmargini}
\addtolength\labelwidth{-\labelsep}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{physics}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
%\usepackage{wasysym}
%\usepackage{fontawesome5}
%\usepackage{pgfplots}
%\pgfplotsset{compat=1.15}
%\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{mathdots}
%\usepackage{yhmath}
%\usepackage{cancel}
\usepackage{color}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{array}
\usepackage{multirow}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{extarrows}
\usepackage{booktabs}
\usetikzlibrary{fadings}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{shadows.blur} %cài gói tikzfill và pgf-blur
\usetikzlibrary{shapes}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{empheq}
\newtcbox{\mymath}[1][]{%
nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, sharp corners,
enhanced, colframe=blue!30!black,
colback=blue!30, boxrule=1pt,
#1}
% \tcbset{highlight math style={boxsep=5mm,colback=blue!30!red!30!white}}
\tcbset{highlight math style={boxsep=5mm,sharp corners, colframe=blue!30!black, colback=blue!30}}
\DeclareRobustCommand{\divby}{%
\mathrel{\text{\vbox{\baselineskip.65ex\lineskiplimit0pt\hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}}}%
}
%Gói lệnh Beamer đã định nghĩa sẵn cho ta các môi trường như theorem, lemma, corollary,… Tuy nhiên nó đều hiển thị là tiếng anh chứ không phải là định lý, bổ đề, hệ quả.
%Muốn hiển thị được tiếng việt bạn phải bỏ định nghĩa của gói Beamer bằng cách cho vào tùy chọn \documentclass[notheorems]{beamer} và tiến hành định nghĩa lại các lệnh như sau\( \[ \] \)
%
%\newtheorem{example}{Ví dụ}
%\newtheorem{theorem}{Định lí}
%\newtheorem{lemma}{Bổ đề}
%\newtheorem{corollary}{Hệ quả}
%Bạn không cần định nghĩa lại môi trường proof mà sử dụng luôn với tùy chọn \begin{proof}[Chứng minh]
%Nếu bạn muốn đánh số định lí thì thêm lệnh \setbeamertemplate{theorems}[numbered] vào phần preamble và định nghĩa lại các lệnh như sau.
%\newtheorem{theorem}{Định lí}[section]
%\newtheorem{lemma}{Bổ đề}[section]
%\newtheorem{corollary}{Hệ quả}[section]
%\newtheorem{example}{Ví dụ}[section]
\newtheoremstyle{baitap}% name
{3pt}% Space above
{3pt}% Space below
{}% Body font
{}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
{\bfseries}% Thm head font
{.}% Punctuation after thm head
{.5em}% Space after thm head: " " = normal interword space;
% \newline = linebreak
{}%
\theoremstyle{baitap}
\newtheoremstyle{vidu}% name
{3pt}% Space above
{3pt}% Space below
{}% Body font
{}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
{\bfseries}% Thm head font
{.}% Punctuation after thm head
{.5em}% Space after thm head: " " = normal interword space;
% \newline = linebreak
{}%
\theoremstyle{vidu}
\setbeamertemplate{theorems}[numbered]
\newtheorem{vidu}{HĐ}[]
%\newtheorem*{vidu}{\Walley[1.5]}
% \renewcommand{\thevidu}{\arabic{vidu}.}% thêm dấu chấm sau số ví dụ
\newtheorem{baitap}{Bài}[]
\newtheorem{hd}{HĐ}
% \renewcommand{\thebaitap}{\arabic{baitap}.}% thêm dấu chấm sau số ví dụ
\newtheorem{lemma}{Bổ đề}[section]
\newtheorem{corollary}{Hệ quả}[section]
% \newtheorem{dn}{Định nghĩa}[]
\makeatletter
\ifbeamer@countsect
\newtheorem{theorem}{\translate{Theorem}}[section]
\else
\newtheorem{theorem}{\translate{Theorem}}
\fi
\theoremstyle{dinhnghia}
\newtheorem*{dinhnghia}{\translate{Định nghĩa}}
\theoremstyle{tinhchat}
\newtheorem*{tinhchat}{\translate{Tính chất}}
\theoremstyle{nhanxet}
\newtheorem*{nhanxet}{\translate{Nhận xét}}
\theoremstyle{dinhli}
\newtheorem*{dinhli}{\translate{Định lí}}
\newenvironment{nx}{\begin{nhanxet}}{\end{nhanxet}}
\newenvironment{tc}{\begin{tinhchat}}{\end{tinhchat}}
\newenvironment{dn}{\begin{dinhnghia}}{\end{dinhnghia}}
\newenvironment{dl}{\begin{dinhli}}{\end{dinhli}}
\makeatother
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Không xuống dòng sau mỗi ví dụ, bài tập
\makeatletter
\setbeamertemplate{theorem begin}
{%
\inserttheoremheadfont% \bfseries
\inserttheoremname \inserttheoremnumber
\ifx\inserttheoremaddition\@empty\else\ (\inserttheoremaddition)\fi%
\inserttheorempunctuation \,
\normalfont
}
\setbeamertemplate{theorem end}{%
% empty
}
\makeatother
%Hiệu ứng lật trang mặc định lật trang bình thường
%\beamertemplatetransparentcoveredhigh %các dòng mở thì mờ nhấn chuột thì hiện rõ.
%\beamertemplatetransparentcovereddynamicmedium %giống như trên nhưng rõ ra dần dần.
%\title{PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN}
%\author{https://o2.edu.vn}
%\subtitle{} %khai báo tiêu đề phụ.
%\logo{} %khai báo logo.
%\institute{} %có thể hiểu là khai báo tên cơ quan, tổ chức.
%\date{} %khai báo ngày tháng năm.
%\subject{} %khai báo chủ đề.
\usepackage{tikzsymbols}
\begin{document}
\input{to_hop.tex}
\end{document}File mẫu một bài dạy phần tổ hợp của Toán 10, bạn lưu với tên to_hop.tex và đặt trong cùng thư mục với file main.tex
\title{HOÁN VỊ -- CHỈNH HỢP}
\author{https://o2.edu.vn}
\setcounter{vidu}{0}
%\subtitle{} %khai báo tiêu đề phụ.
%\logo{} %khai báo logo.
%\institute{} %có thể hiểu là khai báo tên cơ quan, tổ chức.
%\date{} %khai báo ngày tháng năm.
%\subject{} %khai báo chủ đề.
\begin{frame}[plain]
\begin{hd}
Lớp 10A8 có 48 học sinh. Cô chủ nhiệm muốn chọn ra 3 học sinh để làm ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó lao động, 1 lớp phó học tập. Hỏi cô có bao nhiêu cách chọn?
\end{hd}
\begin{hd}
Vẫn lớp 10A8 đó, cô muốn chọn ra 3 học sinh để đi dự lễ kỉ niệm ngày Quốc khánh. Hỏi cô có bao nhiêu cách?
\end{hd}
\end{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]{1. Tổ hợp}
Cho tập hợp $ A $ gồm $ n $ phần tử $ (n\geqslant 1) $. Mỗi tập con gồm $ k $ phần tử của tập hợp $ A $ được gọi là một tổ hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử đã cho.
Ví dụ, cho tập $ A=\{\ast, \bigtriangleup, \bigcirc, \otimes\} $ thì $\{\ast, \bigcirc, \otimes\} $ là một tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của $ A $.
\begin{hd}
Hãy liệt kê tất cả các tổ hợp chập 3 của 4 phần tử đã cho.
\end{hd}
\end{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]{2. Số các tổ hợp}
\begin{hd}
Tổ 1 có 10 học sinh. Cô chủ nhiệm cần chọn ra 3 học sinh để đi múa, hát và vẽ tranh, mỗi học sinh một nhiệm vụ. Hỏi cô có bao nhiêu cách?
Mỗi cách chọn ra 3 học sinh từ 10 học sinh rồi sắp xếp vào 3 vị trí công việc khác nhau tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 10 học sinh. Do đó, số cách chọn là $A^3_{10}=720. $
Ta thấy, công việc của cô có thể chia thành 2 bước:
\begin{itemize}
\item Bước 1, cô lấy ra một tập con gồm 3 phần tử từ 10 phần tử, số cách là $ C^3_{10} $;
\item Bước 2, sắp xếp 3 phần tử này vào 3 vị trí công việc khác nhau, số cách là $ 3! $.
\end{itemize}
Theo quy tắc nhân, cô có $ C^3_{10} \cdot 3! $ cách, hay $ A^3_{10}=C^3_{10} \cdot 3! $.
\end{hd}
\newpage
Tổng quát, gọi $ C^k_n $ là số tổ hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử, thì ta có
\[ C^k_n=\frac{A^k_n}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]
Ví dụ, $ C^4_{12}=\frac{12!}{4!\cdot 8!} =495.$
Quy ước, $ C^0_n=1. $
\begin{hd}
Tính $ C^1_{10}, C^2_{10}, C^8_{10}, C^4_{15}. $
\end{hd}
\begin{hd}
Tính giá trị các biểu thức $C=\frac{6!}{3!.2!}\left( {{P}_{4}}+{{P}_{3}}{{P}_{5}}-{{P}_{2}}{{P}_{6}} \right).$
\end{hd}
\begin{hd}
Có 10 đội bóng tham gia giải đấu. Hai đội bất kỳ đấu nhau đúng một lượt. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu?
\end{hd}
\begin{hd}
Cho tập $ A=\{1;2;3;4;5;6\} $. Hỏi $ A $ có tất cả bao nhiêu tập con?
\end{hd}
\end{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]{3. Tính chất}
\begin{hd}
Trong mặt phẳng cho 7 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác, bao nhiêu tứ giác tạo thành từ các điểm trên?
\end{hd}
\begin{hd}
Chứng minh $$ C^k_n=C^{n-k}_n. $$
\end{hd}
\begin{hd} Chứng minh:
$$ C^k_n+C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1}. $$
\end{hd}
Ví dụ, $ C^2_5+C^3_5=C^3_6, C^{k-1}_n+C^k_n=C^k_{n+1}. $
\begin{hd} Chứng minh rằng, với $ 3 \leqslant k \leqslant n $, ta có:
$$C_{n}^{k}+3C_{n}^{k-1}+3C_{n}^{k-2}+C_{n}^{k-3}=C_{n+3}^{k}.$$
\end{hd}
\end{frame}
\begin{frame}[plain]
\begin{center}
\textbf{BÀI TẬP}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]{Dạng 1. Bài toán đếm}
\textbf{Lưu ý.} Hoán vị và chỉnh hợp có phân biệt \emph{thứ tự, vị trí, chức năng, vai trò, nhiệm vụ...} giữa các phần tử được chọn ra; còn tổ hợp thì không!
\begin{vidu}
Trong mặt phẳng cho 5 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm đó?
\end{vidu}
\begin{vidu} Một tổ gồm 6 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người để làm trực nhật mà có không quá một nữ?
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Vì nhóm đó có không quá một nữ nên ta xét hai phương án:
% \begin{itemize}
% \item Phương án 1: Nhóm gồm 1 nữ và 4 nam. Việc lập nhóm gồm 2 bước. Chọn 1 nữ từ 4 nữ, có $ C^1_4=4 $ cách. Sau đó, chọn 4 nam từ 6 nam, có $ C^4_6=15 $ cách. Theo quy tắc nhân, phương án 1 có $ 4.15=60 $ cách.
% \item Phương án 1: Nhóm gồm 0 nữ và 5 nam. Chọn 5 học sinh nam từ nhóm 6 học sinh nam, nên có $ C^5_6=6 $ cách.
% \end{itemize}
% Theo quy tắc cộng, ta có $ 60+6=66 $ cách chọn nhóm 5 người thỏa mãn yêu cầu.
% \end{proof}
\end{vidu}
\begin{vidu}Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác có 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách? \hfill Đáp số 90.
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Xét ba trường hợp:
% \begin{itemize}
% \item Có 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý: $C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{4}^{1}$
% \item Có 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý: $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}$
% \item Có 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lý: $C_{3}^{1}.C_{4}^{2}$
% \end{itemize}
% Vậy có $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}+C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{4}^{1}+C_{3}^{1}.C_{4}^{2}=90$ cách.
% \end{proof}
\end{vidu}
\newpage
\begin{vidu}
[B2005]Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam 1 nữ. \hfill Đáp số 207900.
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Việc phân công đội thanh niên tình nguyện về ba tỉnh gồm các bước:
% \begin{itemize}
% \item Có $C_{3}^{1}C_{12}^{4}$cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất.
% \item Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất có $C_{2}^{1}C_{8}^{4}$ cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai.
% \item Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và thứ hai có $C_{1}^{1}C_{4}^{4}$ cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba.
% \end{itemize}
% Theo quy tắc nhân, có có: $C_{3}^{1}C_{12}^{4}$.$C_{2}^{1}C_{8}^{4}$.$C_{1}^{1}C_{4}^{4}$=207900 cách phân công đội thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán.
% \end{proof}
\end{vidu}
\newpage
\begin{vidu}
[B2004] Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? \hfill Đáp số 56875.
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên ta có ba phương án:
% \begin{itemize}
% \item Đề có 2 câu dễ, 02 câu trung bình, 01 câu khó, thì có số cách chọn là:
% $C_{15}^{2}.C_{10}^{2}.C_{5}^{1}=23625$
% \item Đề có 2 câu dễ, 01 câu trung bình, 02 câu khó, thì có số cách chọn là:
% $C_{15}^{2}.C_{10}^{1}.C_{5}^{2}=10500$
% \item Đề có 3 câu dễ, 01 câu trung bình, 01 câu khó, thì có số cách chọn là:
% $C_{15}^{3}.C_{10}^{1}.C_{5}^{1}=22750$
% \end{itemize}
% Theo quy tắc cộng, số đề kiểm tra có thể lập được là: $ 23625+10500+22750=56875. $
% \end{proof}
\end{vidu}
\begin{vidu}
[CĐ2004] Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 3 học sinh làm nhiệm vụ trực tuần sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp? \hfill Đáp số 1135.
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Chọn 3 học sinh, để đảm bảo luôn có cán bộ lớp ta xét 3 trường hợp:
% \begin{itemize}
% \item Có 1 cán bộ lớp: Có $ C^1_3.C^2_{27}=1053 $ cách.
% \item Có 2 cán bộ lớp: Có $ C^2_3.C^1_{27}=81 $ cách.
% \item Có 3 cán bộ lớp: Có $ C^3_3=1 $ cách.
% \end{itemize}
% Theo quy tắc cộng, ta có $ 1053+81+1=1135 $ cách chọn 3 học sinh thỏa mãn yêu cầu.
% \end{proof}
\end{vidu}
Khi bài toán xuất hiện các cụm từ: \emph{có ít nhất, luôn có...} ta thường dùng \emph{phương pháp đếm gián tiếp!}
\begin{vidu}
[CĐ2004] Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 3 học sinh làm nhiệm vụ trực tuần sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp?
% \begin{proof}[Hướng dẫn] Chúng ta sẽ giải lại bài toán này theo phương pháp đếm gián tiếp.
% \begin{itemize}
% \item Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ lớp có 30 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử. Do đó có $ C^3_{30}=4060 $ cách.
% \item Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh không có cán bộ lớp là một tổ hợp chập 3 của 27 phần tử còn lại. Do đó có $ C^3_{27}=2925 $ cách.
% \end{itemize}
% Suy ra số cách chọn 3 học sinh luôn có cán bộ lớp là $ 4060-2925=1135 $ cách.
% \end{proof}
\end{vidu}
Để thấy tính hiệu quả của phương pháp này ta xét tiếp các ví dụ sau:
\begin{vidu}
Một nhóm 15 học sinh có 7 nam và 8 nữ. Chọn ra 5 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách?
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Nếu chọn cách tính trực tiếp, chia thành các trường hợp có 1 nữ, 2 nữ, 3 nữ... 5 nữ thì sẽ rất cồng kềnh, phức tạp. Nhưng nếu chọn phương pháp tính gián tiếp, ta xem có bao nhiêu cách chọn \emph{không có học sinh nữ } nào thì lời giải sẽ đơn giản hơn rất nhiều.\\
% Chọn 5 học sinh từ 15 học sinh, có $ C^{5}_{15}=3003 $ cách. Chọn 5 học sinh không có nữ thì có $C^5_7=21 $ cách. Do đó, số cách chọn 5 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ là $ 3003-21=2982 $ cách.
% \end{proof}
\end{vidu}
\begin{vidu}
[CĐ SPHN 2005] Trong một tổ học sinh của lớp 12A có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật trong đó có ít nhất 1 học sinh nam. Hỏi thầy có bao nhiêu cách chọn?
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Có $ C^3_{12}-C^3_4=216 $ cách.
% \end{proof}
\end{vidu}
\begin{vidu}[D2006]
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Số cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh là $C_{12}^{4}=495$\\
% Số cách chọn 4 em học sinh mà mỗi lớp ít nhất 01 em là:
% \begin{itemize}
% \item Lớp A có 2 học sinh, lớp B và C có 01 học sinh: $C_{5}^{2}.C_{4}^{1}.C_{3}^{1}=120$
% \item Lớp B có 2 học sinh, lớp A và C có 01 học sinh: $C_{5}^{1}.C_{4}^{2}.C_{3}^{1}=90$
% \item Lớp C có 2 học sinh, lớp B và A có 01 học sinh: $C_{5}^{1}.C_{4}^{1}.C_{3}^{2}=60$ \\
% Số cách chọn 4 em mà mỗi lớp ít nhất một em là: $ 120+90+60=270 $
% \end{itemize}
% Vậy số cách chọn phải tìm là: $ 495-270=225 $.
% \end{proof}
\end{vidu}
\begin{vidu}
[Chuyên Nguyễn Huệ L3 2015] Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn không có đủ ba màu?
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Nếu tính trực tiếp thì phải chia rất nhiều trường hợp!\\
% Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 18 viên bi, có $ C^4_{18}=3060 $ cách. Để chọn đủ ba màu ta xét 3 trường hợp:
% \begin{itemize}
% \item 1 đỏ, 1 trắng và 2 vàng: Có $ C^1_5.C^1_6.C^2_7=630 $ cách.
% \item 1 đỏ, 2 trắng và 1 vàng: Có $ C^1_5.C^2_6.C^1_7=525 $ cách.
% \item 2 đỏ, 1 trắng và 1 vàng: Có $ C^2_5.C^1_6.C^1_7=420 $ cách.
% \end{itemize}
% Do đó, số cách chọn \emph{không đủ ba màu là}: $ 3060-630-525-420=1485 $ cách.
% \end{proof}
\end{vidu}
\end{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]{Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức tổ hợp}
\begin{vidu}
Chứng minh rằng
\begin{enumerate}
\item $k.C_{n}^{k}=n.C_{n-1}^{k-1}$
\item $C_{n+1}^{p}=\frac{n+1}{p}C_{n}^{p-1}$
\item $k(k-1)C_{n}^{k}=n(n-1)C_{n-2}^{k-2},\;( 2 < k < n)$
\item $C_{n}^{k}+4C_{n}^{k-1}+6C_{n}^{k-2}+4C_{n}^{k-3}+C_{n}^{k-4}=C_{n+4}^{k},\;(4 \leqslant k \leqslant n)$
\end{enumerate}
\end{vidu}
\end{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]{Dạng 3. Phương trình, bất phương trình tổ hợp}
\begin{vidu}
[CĐ GTVT 2007] Giải phương trình $$ P_xC^2_x+36=6(P_x+C^2_x).$$
% \begin{proof}[Hướng dẫn]
% Điều kiện: $ x\geqslant 2, x\in \mathbb{N}. $ Phương trình đã cho tương đương với
% \begin{align*}
% & x!\frac{x(x-1)}{2}+36=6(x!+\frac{x(x-1)}{2})\\
% \Leftrightarrow\;& (x!-6)(x^2-x-12)=0\\
% \Leftrightarrow\;& x=3,x=4.
% \end{align*}
% So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình đã cho là $ x=3,x=4. $
% \end{proof}
\end{vidu}
\begin{vidu}Giải các phương trình
\begin{enumerate}
\item (CĐSP TP HCM 99) $C_{14}^{x}+C_{14}^{x+2}=2C_{14}^{x+1}$
\item $4.C_{n}^{3}=5.C_{n+1}^{2}$
\item (ĐHNN HN 99) $C_{n}^{1}+6C_{n}^{2}+C_{n}^{3}=9{{n}^{2}}-14n$
\item $\frac{A_{n}^{4}}{A_{n+1}^{3}-C_{n}^{n-4}}=\frac{24}{23}$
\item $C_{x}^{1}+C_{x}^{2}+C_{x}^{3}=\frac{7}{2}x$
\end{enumerate}
\end{vidu}
\begin{vidu}
[D2005] Giải phương trình $$ C^2_{n+1}+2C^2_{n+2}+2C^2_{n+3}+C^2_{n+4}=149. $$
\end{vidu}
\begin{vidu}
[BKHN-2000] Giải bất phương trình:
$$ \frac{1}{2}A_{2x}^{2}-A_{x}^{2}\leqslant \frac{6}{x}C_{x}^{3}+10.$$
\end{vidu}
\begin{vidu}
[ĐH SP Tiền Giang 2006] Giải bất phương trình $$ A^2_x+C^2_{x+1}\leqslant 20. $$
\end{vidu}
\begin{vidu}
Giải các bất phương trình
\begin{enumerate}
\item $14{{P}_{3}}.C_{n-1}^{n-3}<A_{n+1}^{4}$
\item $14{{P}_{3}}<\frac{A_{x+1}^{4}}{C_{x-1}^{x-3}}$
\item $\frac{A_{x+4}^{4}}{(x+2)!}<\frac{15}{(x-1)!}$
\item $\frac{1}{2}A_{2n}^{2}-A_{n}^{2}-\frac{6}{n}C_{n}^{3}\leqslant 10$
\item (ĐHHH 99) $\frac{C_{n-1}^{n-3}}{A_{n+1}^{4}}<\dfrac{1}{14{{P}_{3}}}$
\item (TN04-05) $ C^n_{n+3}>\frac{5}{2}A^2_n $
\end{enumerate}
\end{vidu}
\end{frame}
